Explicação matemática porque o gelo depois de derretido não aumenta o nível da água

Colocaram-me, em tempos quando fui a uma entrevista de emprego o seguinte problema, imagine um recipiente com água, e no topo do recipiente encontra-se um cubo de gelo a flutuar, quando o gelo derreter como é que se alterará o nível da água? Manter-se-á? Aumentará ou diminuirá?

Custou-me a responder, e por certo que o entrevistador queria que eu tivesse uma noção sobre a alteração do estado da matéria e como tal, que me fosse intuitivo a alteração do volume dos objetos quando mudam de estado físico. O gelo embebido na água alterará o nível da água quando este derreter? Eu sabia que o gelo é menos denso que a água, e é por este mesmo facto que flutua, como tal haveria de ocupar mais espaço. Pensei à primeira vista que talvez o nível aumentasse devido a este facto.

Mas ao derreter lentamente, o cubo ao tornar-se mais leve, também haveria de ocupar menos espaço dentro de água, o que faria com que a água não subisse tanto, refleti eu. Talvez este fator fosse compensador, e fizesse com que o nível da água se mantivesse. Iria dar a resposta sobre a qual havia refletido: Mantêm-se.

Mas de súbdito, surgiu um dado empírico. Sempre ouvi dizer que o derretimento das calotas polares devido às alterações climáticas provocavam o aumento do nível médio da água do mar. Então a resposta que dei foi: Aumenta.

Foi mais um dos casos em que deixei que os dados empíricos se sobrepusessem à intuição racional, e tal revelou-se num pensamento de cariz falacioso.

Cheguei a casa e tentei aferir matemática e fisicamente através da álgebra qual o resultado correto. Exponho aqui esse raciocínio: Imaginemos um cubo de gelo de lado x que está emergido num recipiente com água. A base do recipiente é um quadrado de lado y. O gelo, suponhamos, tem apenas uma fração de altura a emergida na água. A altura da água no estado inicial é h_i . Depois do gelo derreter completamente, encontramo-nos no estado final, em que obviamente o recipiente é o mesmo, e em que teremos uma altura de água h_f.

A figura seguinte tenta ser representativa daquilo que refiro.

Pela lei de Arquimedes um corpo flutua quando o seu peso é igual ao peso de líquido deslocado onde flutua, ou seja neste caso

Em que M_G é a massa do cubo de gelo, M_{água deslocada} é a massa da água deslocada, g é a aceleração gravítica, ρ_g é a densidade do gelo, ρ_a é da densidade da água, x é o comprimento do lado do cubo de gelo e a é a porção de gelo que está submersa tal como está indicado na figura acima representada.

Simplificando a fórmula acima descrita obtemos

É sabido que depois do gelo derreter, a água daí resultante se mistura com a água inicial já existente no recipiente. Significa que a massa de gelo mais a massa de água inicial será igual à massa de água total no estado final, ou seja

Nesta equação M_a é a massa de água inicial, M_G é a massa do cubo de gelo e M_f é a massa total final depois do cubo de gelo derreter completamente. Desenvolvendo esta equação sabendo a equação em (1) e tendo em consideração a figura representada obtemos

Substituindo nesta equação, a variável a da equação (3), obtêm-se

Conclui-se assim que a altura final é igual à inicial. Ou seja o derretimento do gelo quando está a flutuar, não provoca qualquer aumento no nível da água. É que a água é um dos raros elementos cujo estado sólido é menos denso que o seu estado líquido, por isso é que o gelo flutua. Simplificando, neste caso, o gelo ao derreter, faz com que a sua água equivalente vá ocupar exatamente o espaço que o gelo tinha embebido dentro da água do recipiente, verificando assim o princípio de Arquimedes. Este raciocínio poderá ser aplicado a todas as matérias que flutuem em que o objeto que flutua é do mesmo elemento que o líquido onde está embebido. Tal só acontece quando o sólido é menos denso que o líquido.

No caso de gelo que está assente em rocha que não esteja totalmente a boiar, nesse caso o nível da água aumenta, daí a grande preocupação dos cientistas com o derretimentos das zonas polares que contribuem para o aumento do nível médio do mar. Para observar este pequeno relatório em formato pdf descarregue aqui.